NEW PRECONDITIONERS FOR STATIONARY ITERATIVE METHODS
Date
2022-03-01
Authors
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Abstract
The convergence of an iterative method used for the solution of systems of linear
equation depends on the properties of the spectrum of the matrix of the linear sys tem. So, to speed up the convergence, the given linear system is transformed into an
equivalent one by linear transformations, known as preconditioners.
In this thesis, we introduce two new preconditioners for Jacobi and Gauss-Seidel (GS)
iterative methods for the solution of linear systems with strictly columnwise diago nally dominant (SCDD) L− matrices and SCDD positive matrices. The new precon ditioners can be applied on a single row, on a limited number of rows, called partial
preconditioning, or on all rows, called complete preconditioning, of the system ma trix. First of all, the properties of the preconditioned matrices are determined for
systems with SCDD L− matrices and SCDD positive matrices. Then convergence
analysis of the Jacobi and GS iterative methods are performed for the preconditioned
systems.
For systems with SCDD L− matrices, it is shown that the spectral radii of Jacobi and
GS iteration matrices for preconditioned systems are smaller than the ones associated
with unpreconditioned systems. Although, for systems with SCDD positive matrices,
we prove that the spectral radii of Jacobi iteration matrices for preconditioned systems
are smaller than the ones associated with unpreconditioned systems, no such result is
available for GS iteration matrices.
Numerical results show that for systems with SCDD L−matrices, the new precondi tioners are quite competitive with the ones existing in the literature in the sense of
spectral radii and the number of iterations. Nevertheless, for systems with SCDD
positive matrices, numerical results demonstrate that although new preconditioners
are still competitive with some other preconditioners, usually they are not preferable
on many of the already existing ones. Finally, the performances of new precondition ers for CDD L−matrices and non-CDD L−matrices and even for non-SCDD positive
matrices deserve further research.
Description
DURAĞAN YİNELEMELİ YÖNTEMLER İÇİN YENİ ÖN KOŞULLAYICILAR
ÖZ: Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü için kullanılan yinelemeli yöntemlerin yakınsaklığı doğrusal sistem matrisinin spektrumunun özelliklerine bağlıdır. Bu nedenle, yakınsaklığı hızlandırmak için, verilen doğrusal sistem, ön koşullayıcılar olarak bilinen doğrusal dönüşümlerle eşdeğer bir sisteme dönüştürülür. Bu tezde, sütuna göre kesin köşegensel baskın (SKKB) L−matrisli ve SKKB pozitif matrisli doğrusal denklem sistemlerinin Jacobi ve Gauss-Seidel (GS) yöntemleriyle çözümü için iki yeni ön koşullayıcı tanımlanmaktadır. Yeni ön koşullayıcılar matrisinin tek bir satırına, sınırlı sayıdaki satırlarına, ki kısmi ön koşullama olarak adlandırılır veya bütün satırlarına, ki tam ön koşullama olarak adlandırılır, uygulanabilir. İlk olarak, SKKB L−matrisler ve SKKB pozitif matrisler için on koşullanmış matrislerin özellikleri belirlenmektedir. Daha sonra ön koşullandırılmış sistemler için Jacobi ve GS yontemlerinin yakınsaklık analizleri yapılmaktadır. SKKB L−matrisli sistemler için, ön koşullandırılmış sistemlerin Jacobi ve GS yineleme matrislerinin spektral yarıçaplarının ön koşullandırılmamış sistemlere karşılık gelenlerden daha küçük olduğu gösterilmektedir. SKKB pozitif matrisli sistemler için, ön koşullandırılmış sistemlerin Jacobi yineleme matrislerinin spektral yarıçaplarının ön koşullandırılmamış sistemlere karşılık gelenlerden daha küçük olduğunu ispatlamamıza karşın, GS yineleme matrisleri için boyle bir sonuç mevcut değildir. Sayısal sonuçlar, yeni ön koşullayıcıların, SKKB L−matrisli sistemler için spektral yarıçap ve yineleme sayısı bakımından literatürde mevcut olanlarla tümüyle yarışabilir durumda olduğunu göstermektedir. Buna karşılık, SKKB pozitif matrisli sistemlere ilişkin sayısal sonuçlar, yeni ön koşuallaycıların diğer bazı ön koşullayıcılarla yarışabilir nitelikte olmasına karşın, mevcut ön koşullayıcıların çoğuna karşı tercih edilebilir olmadığını ifade etmektedir. Son olarak, yeni ön koşullayıcıların sütuna göre köşegensel baskın (SKB) L−matrisler ve SKB-olmayan L−matrisler ve hatta, SKKB-olmayan pozitif matrisler için etkinlikleri, daha fazla araştırmayı haketmektedir.
ÖZ: Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü için kullanılan yinelemeli yöntemlerin yakınsaklığı doğrusal sistem matrisinin spektrumunun özelliklerine bağlıdır. Bu nedenle, yakınsaklığı hızlandırmak için, verilen doğrusal sistem, ön koşullayıcılar olarak bilinen doğrusal dönüşümlerle eşdeğer bir sisteme dönüştürülür. Bu tezde, sütuna göre kesin köşegensel baskın (SKKB) L−matrisli ve SKKB pozitif matrisli doğrusal denklem sistemlerinin Jacobi ve Gauss-Seidel (GS) yöntemleriyle çözümü için iki yeni ön koşullayıcı tanımlanmaktadır. Yeni ön koşullayıcılar matrisinin tek bir satırına, sınırlı sayıdaki satırlarına, ki kısmi ön koşullama olarak adlandırılır veya bütün satırlarına, ki tam ön koşullama olarak adlandırılır, uygulanabilir. İlk olarak, SKKB L−matrisler ve SKKB pozitif matrisler için on koşullanmış matrislerin özellikleri belirlenmektedir. Daha sonra ön koşullandırılmış sistemler için Jacobi ve GS yontemlerinin yakınsaklık analizleri yapılmaktadır. SKKB L−matrisli sistemler için, ön koşullandırılmış sistemlerin Jacobi ve GS yineleme matrislerinin spektral yarıçaplarının ön koşullandırılmamış sistemlere karşılık gelenlerden daha küçük olduğu gösterilmektedir. SKKB pozitif matrisli sistemler için, ön koşullandırılmış sistemlerin Jacobi yineleme matrislerinin spektral yarıçaplarının ön koşullandırılmamış sistemlere karşılık gelenlerden daha küçük olduğunu ispatlamamıza karşın, GS yineleme matrisleri için boyle bir sonuç mevcut değildir. Sayısal sonuçlar, yeni ön koşullayıcıların, SKKB L−matrisli sistemler için spektral yarıçap ve yineleme sayısı bakımından literatürde mevcut olanlarla tümüyle yarışabilir durumda olduğunu göstermektedir. Buna karşılık, SKKB pozitif matrisli sistemlere ilişkin sayısal sonuçlar, yeni ön koşuallaycıların diğer bazı ön koşullayıcılarla yarışabilir nitelikte olmasına karşın, mevcut ön koşullayıcıların çoğuna karşı tercih edilebilir olmadığını ifade etmektedir. Son olarak, yeni ön koşullayıcıların sütuna göre köşegensel baskın (SKB) L−matrisler ve SKB-olmayan L−matrisler ve hatta, SKKB-olmayan pozitif matrisler için etkinlikleri, daha fazla araştırmayı haketmektedir.
Keywords
mathematics